Κύματα.

Προσομοίωση της διάδοσης κυμάτων.

      Εισαγωγή.

   Κύμα είναι η διάδοση μιας διαταραχής σε ένα ελαστικό μέσο.
   Ως διαταραχή ορίζεται κάθε αλλαγή στο σχήμα ή στην πυκνότητα του υλικού μέσου.
   Κάθε υλικό σώμα αποτελείται από μόρια. Τα μόρια βρίσκονται σε συγκεκριμένες θέσεις για στερεό ή σε ορισμένες αποστάσεις αν πρόκειται για υγρό ή αέριο. Έτσι καθορίζεται το σχήμα του σώματος ή πυκνότητά του.
   Αν προκληθεί μια διαταραχή σε ένα υλικό που ηρεμεί, τα μόρια στην περιοχή που προκλήθηκε η διαταραχή, μετατοπίζονται από τις αρχικές θέσεις, που είναι και οι θέσεις ισορροπίας τους. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να μετακινηθούν από τις θέσεις τους και τα γειτονικά μόρια. Η μετατόπιση γίνεται διότι μεταξύ των μορίων ασκούνται δυνάμεις, που τείνουν να τα επαναφέρουν στις αρχικές τους θέσεις. Συνεπώς η διαταραχή μεταφέρεται από μόριο σε μόριο.
   Αν το εξωτερικό αίτιο είναι περιοδικό, τότε η διαταραχή είναι περιοδικά επαναλαμβανόμενη , με αποτέλεσμα και τα γειτονικά μόρια να επαναλαμβάνουν την αρχική διαταραχή με μια μικρή καθυστέρηση σε σχέση με την αρχική.
   Ελαστικό θα λέγεται ένα σώμα όταν, με την κατάργηση της εξωτερικής επίδρασης, καταργείται και η διαταραχή που προκλήθηκε.
   Για την δημιουργία ενός κύματος χρειάζονται:

  1. Η πηγή του κύματος. Είναι το πρώτο σημείο του ελαστικού μέσου που δέχεται την αιτία που προκαλεί την διαταραχή.
  2. Το ελαστικό μέσο. Είναι το υλικό του οποίου κάθε μόριο αλληλεπιδρά με τα γειτονικά του και έτσι διαδίδεται η διαταραχή.

      Τα μαθηματικά.

   Έστω ελαστικό υλικό μέσο, τα μόρια του οποίου διατάσσονται σε ευθεία, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x’x. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο με x=0 αρχίζει ταλάντωση, κάθετα στην διεύθυνση του μέσου με εξίσωση απομάκρυνσης y=A∙ημ(2πf∙t) με Α το πλάτος και f την συχνότητά της ταλάντωσης που ως μεγέθη θα είναι και χαρακτηριστικά και του κύματος.
   Κατά την διάδοση της διαταραχής, κάθε μόριο του μέσου εκτελεί την ίδια κίνηση με το προηγούμενο, με μια μικρή καθυστέρηση. Η χρονική αυτή καθυστέρηση, καθορίζει την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
   Αν σε χρόνο t η διαταραχή έφτασε από την πηγή (x = 0) στην θέση x, τότε η ταχύτητα υ έχει μέτρο που δίνεται απο τη σχέση : υ = x/t. Το μέτρο της ταχύτητας καθορίζεται αποκλειστικά απο το μέσο διάδοσης του κύματος.
   Η εξίσωση ταλάντωσης σημείου στη θέση x > 0 είναι y=A∙ημ( 2πf∙t – 2π∙x/λ ) όπου λ η σταθερά λ = υ∙Τ ( Τ=1/f περίοδος της ταλάντωσης – κύματος ) που ονομάζεται μήκος κύματος. Αντίστοιχα για σημείο με x < 0, η εξίσωση είναι: y=A∙ημ( 2πf∙t + 2π∙x/λ ).

      Ορισμοί

  1. Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα οποία η διεύθυνση ταλάντωσης των σημείων του μέσου είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
  2. Διαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα οποία η διεύθυνση ταλάντωσης των σημείων του μέσου είναι παράλληλη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
  3. Αρμονικό κύμα είναι αυτό στο οποίο η κίνηση της πηγής, αλλά και κάθε σημείου στο ελαστικό μέσο, είναι αρμονική ταλάντωση.
  4. Περίοδος Τ κύματος και συχνότητα f του κύματος είναι η περίοδος και η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής.
  5. Μήκος κύματος λ είναι η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου λ = υ∙Τ → υ = λ∙f
  6. Η παράσταση 2πf∙t-2π∙x/λ ονομάζεται φάση και μετριέται σε rad.

   Η σχέση y=A∙ημ( 2πf∙t – 2π∙x/λ ) ονομάζεται εξίσωση κύματος. Αφορά το κύμα που διαδίδεται προς τα θετικά. Ισχύει για x ≤ υ∙t και είναι συνάρτηση με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές ( x , t ).
   Η σχέση αυτή, για t = t1 = σταθερό και x ≤ υ∙t1, παίρνει τη μορφή y=A∙ημ( σταθ. – 2π∙x/λ ) και δίνει την απομάκρυνση y κάθε σημείου του μέσου σε συνάρτηση με την απόστασή του x από την πηγή. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος.
   Αντίστοιχα για ορισμένη τιμή στο x = x1 = σταθερό και t ≥ x1/υ, έχει την μορφή y=A∙ημ( 2πf∙t – σταθ. ) και δίνει την απομάκρυνση y του δεδομένου σημείου x1 με τον χρόνο. Η συνάρτηση αυτή είναι η εξίσωση ταλάντωσης του συγκεκριμένου σημείου.

   Αν στο ίδιο ελαστικό μέσο διαδίδονται ταυτόχρονα δύο ή περισσότερα κύματα, τότε η απομάκρυνση ενός σημείου είναι η σύνθεση των απομακρύνσεων των επιμέρους κυμάτων. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συμβολή των κυμάτων. Στην περίπτωση που οι επιμέρους ταλαντώσεις γίνονται στην ίδια διεύθυνση, τότε η τελική απομάκρυνση είναι το αλγεβρικό άθροισμα των επιμέρους ταλαντώσεων y = y1 +y2.

      Η προσομοίωση.

   Η προσομοίωση αφορά στη διάδοση και τη σύνθεση κυμάτων. Στον χώρο εξέλιξης του φαινομένου αρχικά εμφανίζεται χορδή (μπλε) στην οποία διαδίδεται κύμα προς τα θετικά. Με την επιλογή «Δεύτερο κύμα» εμφανίζεται η δεύτερη χορδή (κόκκινο). Αρχικά και στη δεύτερη χορδή το κύμα έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με το πρώτο κύμα. Με την επιλογή «κύμα προς τα αρνητικά» το δεύτερο κύμα θα διαδίδεται αντίθετα με το πρώτο. Με την επιλογή «Σύνθεση κυμάτων» εμφανίζεται τρίτη χορδή στην οποία γίνεται σύνθεση των δύο αρχικών κυμάτων.
   Υπάρχει δυνατότητα αλλαγής των περιόδων Τ1 ή Τ2 των κυμάτων. Η αλλαγή στην ταχύτητα αφορά στο μέσο και επιδρά και στα δύο κύματα.
   Το στοιχείο play κάνει εκκίνηση του φαινομένου και με το stop δίνει το στιγμιότυπο του κύματος για τη στιγμή εκείνη. Το στοιχείο step δίνει διαδοχικά στιγμιότυπα με χρονική απόσταση dt = 0.05sec. Το reset επαναφέρει την προσομοίωση στην αρχική κατάσταση.
   Το ορθογώνιο πλαίσιο, που αρχικά βρίσκεται στη θέση x=0, μπορεί να μετακινηθεί με το ποντίκι κατά την οριζόντια διεύθυνση. Μέσα στο πλαίσιο εμφανίζεται ένα σημείο κάθε χορδής και φαίνεται η κίνηση της ταλάντωσης. Μπορούμε να παρακολουθήσουμε την κίνηση και να επαληθεύσουμε την πρόταση ότι «στο κύμα μεταφέρεται ορμή και ενέργεια από σημείο σε σημείο του μέσου, όχι όμως ύλη».

      Χαρακτηριστικές τιμές.

  1. Χρησιμοποιήστε τις αρχικές τιμές (ή πατήστε reset). Πατήστε play και αμέσως stop. Με το step ανεβάστε τον χρόνο στο t=2sec. Το στιγμιότυπο αφορά στο μήκος κύματος. Κάντε το ίδιο με δύο κύματα αφού προηγουμένως αλλάξετε την Τ2 σε 4 sec.
  2. Με τις αρχικές τιμές, επιλέξτε «Δεύτερο κύμα» και «κύμα προς τα αριστερά» και «Σύνθεση κυμάτων». Πατήστε play και παρακολουθήστε την παραγωγή του στάσιμου κύματος. Στα άκρα της χορδής εμφανίζονται δεσμοί. Μετακινήστε το ορθογώνιο πλαίσιο στη θέση δεσμού και παρακολουθήστε τις απομακρύνσεις των αρχικών κυμάτων. Κάντε το ίδιο για θέση κοιλίας.
  3. Στη φάση του στάσιμου κύματος, πατήστε stop και με το step, παρακολουθήστε στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος.
  4. Στη φάση της σύνθεσης των κυμάτων, επιλέξτε Τ1=1.5 sec και Τ2=1.6sec. Επιλέξτε την μικρότερη τιμή της ταχύτητας. Τόσο στην πηγή, όσο και σε κάθε σημείο του μέσου γίνεται σύνθεση ταλαντώσεων με ίδιο πλάτος και παραπλήσιας συχνότητας με την εμφάνιση διακροτημάτων.