Get Adobe Flash player

Ενδιαφέροντα

Καλωσήλθατε στην κεντρική σελίδα του Ε.Κ.Φ.Ε. Καστοριάς !

atom3   
      «ΚΟΣΜΟΝ ΤΟΝΔΕ , ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΑΠΑΝΤΩΝ,
       ΟΥΤΕ ΤΙΣ ΘΕΩΝ  ΟΥΤΕ ΤΙΣ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ΕΠΟΙΗΣΕΝ,
          ΑΛΛ΄ ΗΝ ΑΕΙ ΚΑΙ  ΕΣΤΙΝ  ΚΑΙ  ΕΣΤΑΙ  ΠΥΡ  ΑΕΙΖΩΟΝ,
              ΑΠΤΟΜΕΝΟΝ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΝΝΥΜΕΝΟΝ ΜΕΤΡΑ»  
                                                                                                                                      Ηράκλειτος

Ποια μορφή πρέπει να έχει η δύναμη για να κάνει ένα σώμα Γ.Α.Τ. ;

 

Στο σχήμα δίπλα φαίνεται ένα σώμα που κάνει αρμονική ταλάντωση. Ποιά μορφή πρέπει να έχει η δύναμη ώστε να αναγκάζει το σώμα σ΄αυτή την κίνηση;

Θεωρούμε οτι χ=0 είναι στη θέση ισορροπίας.

Δεδομένα.

m: η μάζα του σώματος.   

χ=Αημ(ωt)  και  α=-αmaxημ(ωt)  οι εξισώσεις θέσης και επιτάχυνσης στην κίνηση.  Με αmax=Αω2

Επεξεργασία:

Με βάση τον 2ο Νόμο του Νεύτωνα:  ΣF=mα.  Οπότε ΣF= m(maxημ(ωt)) ? ΣF=-mω2Αημ(ωt)? ΣF=-mω2χ.

Εάν θέσουμε τον θετικό όρο   2 ως D   (2 = D )  η σχέση γίνεται      ΣF = -Dχ.

Από την τελική μορφή φαίνεται ότι η δύναμη είναι :

1)  αντίθετη με την απομάκρυνση,  ενώ

2)  το μέτρο της δύναμης είναι ανάλογο με το μέτρο της απομάκρυνσης.

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της δύναμης με την απομάκρυνση. Το πεδίο ορισμού της απομάκρυνσης είναι το [-Α,Α]. Έτσι η γ.π.  δεν επεκτείνεται δεξιά και αριστερά του πεδίου.

F-x

Μια δύναμη αυτής της μορφής τείνει να επαναφέρει το σώμα στη Θέση ισορροπίας, έτσι ονομάζεται δύναμη επαναφοράς.  Η σταθερά αναλογίας  D  ανάμεσα στην δύναμη και την απομάκρυνση, ονομάζεται σταθερά επαναφοράς.

Αν είναι γνωστή η σταθερά επαναφοράς, τότε με βάση τη σχέση 2 = D υπολογίζεται η περίοδος της ταλάντωσης: 

periodosΗ σχέση   ΣF = -Dχ   είναι η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένα σώμα να κάνει αρμονική ταλάντωση.

 

Ικανή : Αν ισχύει η σχέση  ΣF = -Dχ για την δύναμη, τότε η κίνηση είναι σίγουρα Γ.Α.Τ.

Αναγκαία :  Αν η κίνηση είναι Γ.Α.Τ., τότε σίγουρα για την δύναμη ισχύει η σχέση  ΣF = -Dχ.

         Χαρακτηριστική περίπτωση δύναμης που υπακούει στην παραπάνω σχέση, άρα παράγει κίνηση Γ.Α.Τ. , είναι η δύναμη που προέρχεται από ελατήριο. Για την δύναμη του ελατηρίου ισχύει  Fελ = -Kx  με Κ την σταθερά του ελατηρίου ή σκληρότητα του ελατηρίου. Άρα η κίνηση σώματος με δράση της δύναμης του ελατηρίου είναι Γ.Α.Τ. στην οποία η σταθερά επαναφοράς D ισούται αριθμητικά με την σκληρότητα του ελατηρίου Κ    (  D = Κ ).

Προσοχή : Στην εξίσωση ΣF = - D χ της ταλάντωσης , το χ μετράει από τη Θ.Ι. της ταλάντωσης.  Αντίστοιχα στη σχέση   Fελ = -Kx  το χ μετράει από τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου.  Οι δύο θέσεις ταυτίζονται όταν το ελατήριο είναι οριζόντιο. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις (κατακόρυφο, πλάγιο ) ,  το χ της ταλάντωσης είναι διαφορετικό από το χ του ελατηρίου.

Πως αποδεικνύω ότι η κίνηση είναι Γ.Α.Τ. μέσω δυνάμεων;

Πρέπει να αποδείξω ότι ισχύει η σχέση Σ F = -D χ με χ την απόσταση του σώματος από τη Θ.Ι.

Βήμα 1. Βρίσκω τη θέση όπου ΣF=0, την ορίζω ως αρχή των αξόνων (χ=0) και καθορίζω θετική κατεύθυνση.

Βήμα 2. Σε τυχαία απομάκρυνση χ>0, σχεδιάζω όλες τις δυνάμεις, υπολογίζω το ΣF, και αποδεικνύω την σχέση ΣF=-Dχ.  Το D είναι ένας θετικός παράγοντας.

Στον πίνακα που ακολουθεί υπάρχουν οι διαθέσιμες βιντεο-παρουσιάσεις που αφορούν στο θέμα.

Η παρουσίαση γίνεται σε νέα σελίδα.

projection_screen_present 1 Aναπτύσεται η δύναμη επαναφοράς. Είναι διάρκειας 1min και 55sec.
2 Aναπτύσεται η γραφική παράσταση δύναμης-απομάκρυνσης. Είναι διάρκειας 0min και 48 sec.
3 Aναπτύσεται η δύναμη επαναφοράς σε σχέση με το χρόνο.  Είναι διάρκειας 3min και 10sec.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Ασκ 1. Σώμα μάζας m=5Kgr είναι κρεμασμένο από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100Νm. Απομακρύνουμε το σώμα από την θέση ισορροπίας. Να δειχθεί ότι η κίνηση είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί η περίοδος της ταλάντωσης. g=10 m / s²

Ασκ 2. Σώμα μάζας m=5Kgr είναι δεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=125Ν/m και ισορροπεί σε λείο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται στο σώμα δύναμη F=25Ν σταθερή, οριζόντια με διεύθυνση τον άξονα του ελατηρίου, ώστε το ελατήριο να επιμηκύνεται. Να δειχθεί ότι η κίνηση που παράγεται είναι αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης. Σε ποια επιμήκυνση του ελατηρίου εμφανίζεται η μέγιστη ταχύτητα και πόση είναι;

Ασκ 3. Σώμα μάζας m είναι δεμένο με ελατήρια Κ1 και Κ2, όπως στο σχήμα. Το σώμα ισορροπεί σε θέση που τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Να δειχθεί ότι αν το σώμα εκτραπεί κατά χ από την αρχική θέση, η κίνηση που θα γίνει είναι αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί η περίοδος της κίνησης.

8

Ασκ 4. Σώμα μάζας m=5Kgr είναι κρεμασμένο από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100Νm. Απομακρύνουμε το σώμα ώστε το ελατήριο να αποκτήσει επιμήκυνση 0,7m.. Να δειχθεί ότι η κίνηση είναι γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης. g=10 m / s²

Ασκ 5. Σώμα μάζας  m1= 2Kgr   ηρεμεί  πάνω σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m . Σώμα μάζας  m2 = 5Kgr τοποθετείται πάνω στο σώμα μάζας m1 .  Να  βρείτε στην κίνηση:

      α) Τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου από το φυσικό μήκος.

      β) Την γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του σώματος m2.

      γ) Τη μέγιστη  δύναμη επαφής που δέχεται το σώμα μάζας m2 από το σώμα m1

Ασκ 6. Σώμα μάζας m=2 Kgr βρίσκεται σε οριζόντιο άξονα και δέχεται δύο δυνάμεις F1 και F2, οριζόντιες και αντίρροπες όπως στο σχήμα: H F1 έχει μέτρο F1=6ψ όπου ψ η θέση του σώματος στον άξονα και η F2 =40-2ψ. Να αποδειχθεί ότι η κίνηση που κάνει το σώμα είναι Γ.Α.Τ..

9

 Αφήνουμε το σώμα στη θέση ψ = 10 m. Να βρεθεί η ταχύτητα που θα έχει το σώμα στη θέση ψ = 8 m, και στη συνέχεια στη θέση ψ = 5 m. Σε ποια θέση του άξονα ψ η ταχύτητα θα γίνει μηδέν;

Ασκ 7. Σώμα μάζας m=5 Kgr βρίσκεται ακίνητο σε ύψος h=4 m από το έδαφος. Στο σώμα ασκείται το βάρος του και δύναμη από κατακόρυφο πεδίο της μορφής F=100-5ψ , όπου ψ η θέση του σώματος σε κατακόρυφο άξονα ο οποίος αρχίζει από το έδαφος και έχει φορά προς τα πάνω ( το πρόσημο της δύναμης καθορίζει την φορά της).   α) Να δειχθεί ότι η κίνηση είναι απλή αρμονική ταλάντωση.    β) Να βρεθεί η περίοδος της ταλάντωσης, το πλάτος της και η μέγιστη ταχύτητα. g=10 m / s²

Ασκ 8. Σώμα μάζας m=2 Kgr βρίσκεται σε οριζόντιο άξονα και δέχεται δύναμη F= 50-2ψ όπου ψ η θέση του σώματος στον άξονα και το πρόσημο της F χαρακτηρίζει την φορά της.          α) Να δειχτεί ότι η κίνηση είναι ταλάντωση και να βρεθεί η περίοδος.     β)  Αν το σώμα αφεθεί στη θέση ψ= 5 m, ποια μέγιστη ταχύτητα αποκτά και σε ποια θέση του άξονα;       γ)  Με πόση ταχύτητα πρέπει να ξεκινήσει από την αρχή του άξονα για να φτάσει στη θέση με ψ=75m;   δ) Σε πόσο χρόνο γίνεται η μετάβαση από την αρχή του άξονα έως την θέση ψ= 75 m ;

Αυτήν τη στιγμή επισκέπτονται τον ιστότοπό μας 65 επισκέπτες και κανένα μέλος