Η θεωρία

   Στην προσομοίωση εμφανίζεται η συμβολή κυμάτων που διαδίδονται στην ίδια επιφάνεια.
   Έστω δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2. Οι πηγές παράγουν κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια. Θεωρούμε ότι το πλάτος των κυμάτων παραμένει σταθερό καθώς αυτά απομακρύνονται από την πηγή.

   Τα δύο κύματα έχουν την ίδια ταχύτητα και το ίδιο μήκος κύματος. Κάθε σημείο της επιφάνεια εξαναγκάζεται σε κίνηση τόσο από το κύμα της Π1 όσο και από το κύμα της Π2. Σε κάθε σημείο της επιφάνειας γίνεται σύνθεση των ταλαντώσεων που οφείλονται στα κύματα.
   Συμβολή είναι το αποτέλεσμα της συνύπαρξης των δύο κυμάτων στο ίδιο ελαστικό μέσο.

   Οι εξισώσεις των δύο κυμάτων είναι :   y₁=A∙ημ(2πf∙t - 2π∙r₁/λ)   με r₁ < λf∙t     και   y₂=A∙ημ(2πf∙t - 2π∙r₂/λ)   με r₂ < λf∙t , όπου Α το πλάτος των κυμάτων, f η συχνότητα και λ το μήκος κύματος.

   Τυχαίο σημείο Μ της επιφάνειας προσδιορίζεται με βάση τις αποστάσεις του r₁ και r₂ από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα. Με την προϋπόθεση ότι στο σημείο έχουν φτάσει τα δύο κύματα, η απομάκρυνση του σημείου από την θέση ισορροπίας του είναι y₁+y₂.
   Η μαθηματική επεξεργασία δίνει y = 2A ∙ συν[ 2π∙(r₁-r₂) /2λ ] ∙ ημ[ 2πf∙t – 2π∙(r₁+r₂) /2λ ].
   Η εξίσωση αυτή εκφράζει αρμονική ταλάντωση με συχνότητα f, της οποίας το πλάτος A' = | 2A ∙ συν[ 2π∙(r₁-r₂) /2λ ] | είναι συνάρτηση της θέσης του σημείου. Η τιμή του πλάτους κυμαίνεται από 0 έως 2 Α

   Συνεπώς όλα τα σημεία κάνουν ταλάντωση ίδιας συχνότητας διαφορετικού όμως πλάτους. Με βάση το πλάτος ταλάντωσης , τα σημεία του επιπέδου χωρίζονται σε τρείς κατηγορίες.

1. Σημεία των οποίων το πλάτος ταλάντωσης είναι μέγιστο και ίσο με 2 Α.
2. Σημεία των οποίων το πλάτος ταλάντωσης είναι μηδενικό.
3. Σημεία των οποίων το πλάτος ταλάντωσης έχει τιμή ανάμεσα στη μηδενική και τη μέγιστη.

   Για τα σημεία της πρώτης ομάδας (πλάτος ταλάντωσης 2 Α ) ισχύει : |r₁-r₂| = k∙λ με k = 1, 2, 3, 4, .... Στα σημεία αυτά τα δύο κύματα συμβάλουν ενισχυτικά (ενίσχυση).
   Για τα σημεία της δεύτερης ομάδας (μηδενικό πλάτος ) ισχύει : |r₁-r₂| = (2k+1)∙λ/2 με k = 1, 2, 3, 4, .... Στα σημεία αυτά τα δύο κύματα συμβάλουν με απόσβεση.

Μαθηματική εισαγωγή.

   Η σχέση |r₁-r₂| = k∙λ   ή   |r₁-r₂| = (2k+1)∙λ/2 , ανάγεται στην γενική μορφή r₁-r₂ = σταθερό. Το σύνολο των σημείων του επιπέδου τα οποία έχουν κοινή διαφορά αποστάσεων από δεδομένα σημεία, βρίσκονται πάνω σε καμπύλη που η μορφή της είναι υπερβολή. Τα δύο δεδομένα σημεία αποτελούν τις εστίες των υπερβολών.

   Με βάση την πρόταση αυτή, προκύπτει ότι τόσο τα σημεία στα οποία γίνεται ενίσχυση, όσο και τα σημεία στα οποία γίνεται απόσβεση, βρίσκονται σε τόξα υπερβολής των οποίων οι εστίες είναι οι πηγές Π1 και Π2. Τα τόξα αυτά ονομάζονται και κροσσοί συμβολής. Το πλήθος των τόξων υπερβολών που θα εμφανισθούν στην επιφάνεια, εξαρτάται τόσο από το μήκος κύματος των κυμάτων όσο και από την απόσταση d των πηγών .

Η προσομοίωση

   Το interface της προσομοίωσης χωρίζεται σε τρείς περιοχές. Στην περιοχή που εξελίσσεται το φαινόμενο, στον χώρο ελέγχου των παραμέτρων και στην περιοχή όπου γίνεται η απεικόνιση της απομάκρυνσης επιλεγμένου σημείου.
   Η εξέλιξη του φαινομένου γίνεται στην κεντρική περιοχή. Αρχικά εμφανίζεται μόνο η πηγή Π1. Στην κατάσταση αυτή, αν τρέξει η προσομοίωση (play), θα φανεί η διάδοση του κύματος που παράγει η Π1. Αν ενεργοποιηθεί το στοιχείο της Π2, τότε θα φανεί η διάδοση του κύματος που παράγει η Π2. Η συνύπαρξη των δύο πηγών γίνεται με την ενεργοποίηση του στοιχείου Π1&2. Στην κατάσταση αυτή εμφανίζονται και τα στοιχεία ελέγχου των τόξων (κροσσών) συμβολής.
   Η πηγή Π2 βρίσκεται σε συμμετρική θέση ως προς το κέντρο και εμφανίζεται όταν ενεργοποιηθεί το κατάλληλο στοιχείο στην περιοχή ελέγχου. Ο δρομέας «Θέση πηγών» επιδρά και στις δύο πηγές, κρατώντας τις θέσεις τους συμμετρικές ως προς το κέντρο.
   Το επιλεγμένο σημείο, του οποίου η απομάκρυνση απεικονίζετε στο πάνω τμήμα της οθόνης, βρίσκεται αρχικά στο μέσο των δύο πηγών. Η θέση του αλλάζει με βάση τους δρομείς r1 και r2 στην περιοχή ελέγχου.
   Στην πάνω δεξιά γωνία γίνεται θέαση της κίνησης του επιλεγμένου σημείου, ενώ πάνω απο το επίδεδο διάδοσης φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου αυτού με τον χρόνο. Στον χώρο αυτό μπορεί να εμφανιστούν και οι απομακρύνσεις των ταλαντώσεων που οφείλοται σε κάθε πηγή ξεχωριστά.

   Στις περιοχές «Δεδομένα κύματος» και «Δεδομένα επιλεγόμενου σημείου» εμφανίζονται συγκεντρωτικά οι τιμές των επιλογών που έχουν γίνει. Όταν η τιμή στο πεδίο «Πηλίκο |r1-r2|/(λ/2)» γίνει ακέραιος αριθμός, τότε το επιλεγμένο σημείο είναι σε τόξο απόσβεσης ή ενίσχυσης. Τα τόξα ενίσχυσης είναι με Μπλε χρώμα, ενώ τα τόξα απόσβεσης είναι με Κόκκινο χρώμα.

   Η κίνηση σταματά αυτόματα μετά από χρόνο 40 sec. Στη φάση αυτή πατήστε t=0 ή reset.
   Η επιλογή t=0 μηδενίζει τον χρόνο χωρίς να αλλάξει τις επιλογές που έχετε κάνει.
   Η επιλογή reset, μηδενίζει τον χρόνο και επαναφέρει τις προκαθορισμένες τιμές με τις οποίες ξεκίνησε το πρόγραμμα.
   Η επιλογή step παράγει διαδοχικά στιγμιότυπα του φαινομένου που χρονικά απέχουν dt=0.05 sec.

Επισημάνσεις

1. Στο τμήμα Π₁Π₂, παράγεται σταδιακά στάσιμο κύμα.
2. Αν μηδενισθεί η απόσταση των πηγών, τότε η συμβολή παράγει κύμα με πλάτος 2 Α.
3. Τα σημεία στις προεκτάσεις του τμήματος Π₁Π₂ κάνουν ταλάντωση με πλάτος 2Α (ενίσχυση) όταν η απόσταση των πηγών d και το μήκος κύματος λ συνδέονται με τη σχέση d=k∙λ με k = 1, 2, 3, 4, ...
4. Τα σημεία στις προεκτάσεις του τμήματος Π₁Π₂ μένουν ακίνητα (απόσβεση) όταν η απόσταση των πηγών d και το μήκος κύματος λ συνδέονται με τη σχέση d=(2k+1)∙λ/2 με k = 1, 2, 3, 4, ...
5. Τα κύματα φτάνουν στο επιλεγμένο σημείο τις χρονικές στιγμές t₁=r₁/υ και t₂=r₂/υ. Έστω t₁ < t₂.
6. Η εξίσωση ταλάντωσης του επιλεγμένου σημείου είναι :
   • y = 0    για t ≤ t₁
   • y = y₁=A∙ημ(2πf∙t - 2π∙r₁/λ)    για t₁ < t ≤ t₂
   • y = y₁ + y₂ = y = 2A ∙ συν[ 2π∙(r₁-r₂) /2λ ] ∙ ημ[ 2πf∙t – 2π∙(r₁+r₂) /2λ ]    για t > t₂
7. Για σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος Π₁Π₂ είναι πάντα t₁ = t₂. Αυτό σημαίνει οτι στα σημεία αυτά δεν υπάρχει ο δεύτερος κλάδος της προηγούμενης συνάρτησης.
8. Η μεσοκάθετος είναι πάντα τόξο ενίσχυσης. Όλοι οι κροσσοί συμβολής διατάσσονται συμμετρικά ως προς την μεσοκάθετο.

Χαρακτηριστικές τιμές

   Η παρακάτω λίστα αφορά σε χαρακτηριστικές τιμές με περιγραφή ιδιαίτερων φαινομένων.

1. Ενεργοποιήστε την επιλογή Π1&2 και τα στοιχεία ενίσχυση , απόσβεση. Δώστε στην r₁ την τιμή 6 και στη r₂ την τιμή 8. Τρέξτε την προσομοίωση. Στην περιοχή της ευθείας Π1Π2 , ανάμεσα στις πηγές παράγεται στάσιμο κύμα με τις πηγές να είναι σε κοιλίες και εκτός των Π1Π2 γίνεται ενίσχυση. Το επιλεγμένο σημείο ταλαντώνεται για χρόνο μίας περιόδου λόγω της Π₁ και στη συνέχεια γίνεται ενισχυτική συμβολή.
2. Πληκτρολογήστε την τιμή 2.5 στην απόσταση των πηγών. Πατήστε enter. Δώστε στο r₁ την τιμή 6 και στο r₂ την τιμή 7. Τρέξτε την προσομοίωση. Στην περιοχή της ευθείας Π1Π2 , ανάμεσα στις πηγές παράγεται στάσιμο κύμα με τις πηγές να είναι σε δεσμούς και εκτός των Π1Π2 γίνεται απόσβεση. Το επιλεγμένο σημείο ταλαντώνεται για χρόνο μισής περιόδου λόγω της Π1 και στη συνέχεια γίνεται απόσβεση.
3. Πληκτρολογήστε την τιμή 3.5 στην απόσταση των πηγών. Πατήστε enter. Δώστε στο r₁ την τιμή 4 και στο r₂ την τιμή 3. Τρέξτε την προσομοίωση. Στην περιοχή της ευθείας Π1Π2 , ανάμεσα στις πηγές παράγεται στάσιμο κύμα με τις πηγές να είναι σε δεσμούς και εκτός των Π1Π2 γίνεται απόσβεση. Το επιλεγμένο σημείο ταλαντώνεται για χρόνο μισής περιόδου λόγω της Π2 και στη συνέχεια γίνεται απόσβεση. Το σημείο βρίσκεται σε δεσμό του στάσιμου κύματος.
4. Πληκτρολογήστε την τιμή 3.5 στην απόσταση των πηγών. Πατήστε enter. Δώστε στο r₁ την τιμή 4.5 και στο r₂ την τιμή 2.5 . Τρέξτε την προσομοίωση. Στην περιοχή της ευθείας Π1Π2 , ανάμεσα στις πηγές παράγεται στάσιμο κύμα με τις πηγές να είναι σε δεσμούς και εκτός των Π1Π2 γίνεται απόσβεση. Το επιλεγμένο σημείο ταλαντώνεται για χρόνο μιάς περιόδου λόγω της Π2 και στη συνέχεια γίνεται ενίσχυση. Το σημείο βρίσκεται σε κοιλία του στάσιμου κύματος.