Καλωσήλθατε στην κεντρική σελίδα του Ε.Κ.Φ.Ε. Καστοριάς !

Αρχική φάση ταλάντωσης.

Στην έκφραση χ=Αημ(ωt+φ_ο), ο παράγοντας φ_ο είναι η αρχική φάση. Αυτός έχει τιμή ίση με μηδέν, μόνο όταν η κίνηση αρχίζει (t=0) απο τη Θέση Ισορροπίας (χ=0) , με θετική ταχύτητα. Όταν η κίνηση αρχίζει με απομάκρυνση χ?0   ή   με χ=0 και υ<0, τότε στις χρονικές εξισώσεις υπάρχει αρχική φάση.

Ο υπολογισμός της αρχικής φάσης στηρίζεται στα δεδομένα για τη χρονική στιγμή t=0. Δηλαδή : απο πού ξεκινά το σώμα και με τι ταχύτητα.

Για να υπολογίσουμε την αρχική φάση φ₀ ενός αρμονικού ταλαντωτή (υλικού σημείου που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση), πρέπει να γνωρίζουμε :

τη θέση του και την ταχύτητα του τη χρονική στιγμή t= 0.

Έτσι, εάν χ₁, υ₁ είναι η απομάκρυνση και η ταχύ­τητα αντίστοιχα του ταλαντωτή κατά τη χρονική στιγμή t= 0, θα έχουμε τις σχέσεις:

χ₁=Αημ(φ_ο ) ?  ημ(φ_ο )= χ₁/Α   (Απο την εξίσωση της απομάκρυνσης, με αντικατάσταση χ=χ₁ και t=0 )

Προφανώς  -1?ημ(φ_ο)?1.

Απο τον τριγωνομετρικό κύκλο, φαίνεται οτι υπάρχουν δύο γωνίες στην περιοχή [0,2π], των οποίων το ημίτονο είναι χ1/Α.   Η μία βρίσκεται στο δεξιά ημικύκλιο (αφορά θετικές τιμές στο συνημίτονο), ενώ η άλλη στο αριστερά ημικύκλιο (αφορά αρνητικές τιμές στο συνημίτονο).   Απο τις δύο πιθανές τιμές της αρχικής φάσης (και οι δύο επαληθεύουν την αρχική τιμή του χ), δεκτή είναι αυτή που επαληθεύει και το πρόσημο της ταχύτητας.

Παράδειγμα   Ι:

Σε Γ.Α.Τ. τη χρονική στιγμή  t=0 η απομάκρυνση είναι το μισό της μέγιστης και η ταχύτητα αρνητική. Να βρεθεί η αρχική φάση.

Λύση:

Βήμα 1. Αφού η κίνηση είναι Γ.Α.Τ. ισχύει  χ=Αημ(ωt+φ_ο) .

Βήμα 2. Θέτω την τιμή του χ για t=0.     Α/2=Αημ(ω?0+φ_ο) ? ημ(φ_ο)=1/2 ? φ₀= 2κπ + π/6   ή   φ₀= 2κπ +π- π/6

Επειδή φ₀<2π ? φ₀=π/6 rad  ή   φ₀= π-π/6=5π/6 rad.     Πιθανές τιμές αρχικής φάσης είναι το   π/6  rad και  5π/6 rad.

Βήμα 3. Χρησιμοποιώ το πρόσημο της ταχύτητας για t=0

υ<0  ?   υ_maxσυν(φ₀)  <  0    ?   συν(φ₀)  <  0    ?  φ₀= 5π/6  rad.

Παράδειγμα   ΙΙ:

Σε Γ.Α.Τ. τη χρονική στιγμή  t=0 η απομάκρυνση είναι το χ=-Α/2 και η ταχύτητα θετική. Να βρεθεί η αρχική φάση.

Λύση:

Βήμα 1. Αφού η κίνηση είναι Γ.Α.Τ. ισχύει  χ=Αημ(ωt+φ_ο) .

Βήμα 2. Θέτω την τιμή του χ για t=0.    -Α/2=Αημ(ω0+φ_ο) ? ημ(φ_ο)=-1/2  ?  φ₀= 2κπ -π/6   ή φ₀= 2κπ +π+π/6

Επειδή φ₀<2π  ?  φ₀=-π/6 rad   ή φ₀= π+π/6=7π/6 rad    Πιθανές τιμές αρχικής φάσης είναι το   -π/6  rad και  7π/6 rad.

Βήμα 3. Χρησιμοποιώ το πρόσημο της ταχύτητας για t=0

υ>0  ?   υ_maxσυν(φ₀)  >  0   ?  συν(φ₀)  >  0  ?  φ₀= -π/6  rad. ( Η γωνία -π/6 rad μπορεί να γραφεί και 11π/6 rad )

Στον πίνακα που ακολουθεί υπάρχουν οι διαθέσιμες βιντεο-παρουσιάσεις που αφορούν στο θέμα.

Η παρουσίαση γίνεται σε νέα σελίδα.

	1	Aναπτύσεται η αρχική φάση. Είναι διάρκειας 2min και 18 sec.
	2	Aναπτύσεται η διάγραμμα φάσης χρόνου. Είναι διάρκειας 1min και 08 sec.
	3	Aναπτύσεται η παραδείγματα υπολογισμού αρχικής φάσης.  Είναι διάρκειας 5min και 46sec.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ  ΑΡΧΙΚΗΣ  ΦΑΣΗΣ

Ασκ 1. Σε Γ.Α.Τ. η περίοδος είναι Τ=2sec και το πλάτος Α=2 m . Τη χρονική στιγμή t=0 η απομάκρυνση είναι χ=1 m και η ταχύτητα είναι θετική. Να γραφούν οι εξισώσεις της κίνησης.

Ασκ 2. Σε Γ.Α.Τ. το σώμα φτάνει από το ένα άκρο στο άλλο σε χρόνο t=3 sec ενώ η απόσταση των δύο άκρων είναι d=10 m. Αν η κίνηση αρχίζει με απομάκρυνση χ₁=2,5 m με αρνητική ταχύτητα να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης. Πόση είναι η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=0;

Ασκ 3. Σώμα κάνει Γ.Α.Τ. με συχνότητα f=5 Hz. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α=4 m. Αν η κίνηση αρχίζει από τη Θ.Ι. με αρνητική ταχύτητα να γραφούν οι εξισώσεις της κίνησης.

Ασκ 4. Σε Γ.Α.Τ. η κίνηση αρχίζει με απομάκρυνση χ=Α/2 προς τα θετικά. Το σώμα φτάνει στο θετικό άκρο σε χρόνο t=3 sec. Να βρεθεί η περίοδος και η αρχική φάση της ταλάντωσης.

Ασκ 5. Κίνηση Γ.Α.Τ. αρχίζει από το θετικό άκρο και φτάνει στο αρνητικό άκρο σε χρόνο t=5sec. Αν η απόσταση των δύο άκρων είναι d=4 m, να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης. Πόση είναι η ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται από την θέση με απομάκρυνση χ=1m για πρώτη φορά;

Ασκ 6. Σε Γ.Α.Τ. με πλάτος Α=4 m η κίνηση αρχίζει με χ₁= 2m έχοντας θετική ταχύτητα. Αν η περίοδος της κίνησης είναι Τ=16 sec , να βρεθεί πότε το σώμα ξαναπερνά από την ίδια θέση για πρώτη φορά. Πόση ταχύτητα έχει τότε το σώμα;