Καλωσήλθατε στην κεντρική σελίδα του Ε.Κ.Φ.Ε. Καστοριάς !
 |
«ΚΟΣΜΟΝ ΤΟΝΔΕ , ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΑΠΑΝΤΩΝ, ΟΥΤΕ ΤΙΣ ΘΕΩΝ ΟΥΤΕ ΤΙΣ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ΕΠΟΙΗΣΕΝ, ΑΛΛ΄ ΗΝ ΑΕΙ ΚΑΙ ΕΣΤΙΝ ΚΑΙ ΕΣΤΑΙ ΠΥΡ ΑΕΙΖΩΟΝ, ΑΠΤΟΜΕΝΟΝ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΝΝΥΜΕΝΟΝ ΜΕΤΡΑ» Ηράκλειτος |
ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
|
Φθίνουσα είναι εκείνη η ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται με τον χρόνο. Αυτό είναι αποτέλεσμα της ύπαρξης δυνάμεων που αντιτίθενται στην κίνηση. Οι δυνάμεις αυτές μεταφέρουν ενέργεια από το σύστημα στο περιβάλλον. Λόγω της σχέσης ενέργειας και πλάτους Ε=(mω2Α2)/2 η μείωση της ενέργειας συνεπάγεται μείωση το πλάτους. Στις τιμές της προσομοίωσης θέστε:
Παρατηρήστε την κίνηση και τη μείωση του πλάτους. Η περίοδος της κίνησης παραμένει σταθερή και στα αρχικά μεγάλα πλάτη και στα τελικά μικρά πλάτη. |
|
|
Οι ταλαντώσεις αυτές χαρακτηρίζονται ελεύθερες, και η περίοδος υπολογίζεται από την σχέση που ισχύει και για τις αμείωτου πλάτους.Θέστε την τιμή 1,5 στην κλίμακα των δυνάμεων και θα εμφανιστούν τα διανύσματα ταχύτητας (μπλέ) δύναμης επαναφοράς F (καφέ) και δύναμης απόσβεσης Τ ( κόκκινο). |
|
Έτσι στις ταλαντώσεις αυτές η συνολική δύναμη προέρχεται από δύο συνιστώσες. Την δύναμη επαναφοράς που εξακολουθεί να είναι F= -D?χ και της δύναμης απόσβεσης. Η πρώτη εξασφαλίζει την ταλάντωση, μετατρέποντας την κινητική ενέργεια σε δυναμική και αντίστροφα, ενώ η δύναμη απόσβεσης μεταφέρει ενέργεια απο το σύστημα στο περιβάλλον. Η συνολική ενέργεια συνεχώς μειώνεται με αποτέλεσμα την μείωση του πλάτους ταλάντωσης.
Στην ιδιαίτερη περίπτωση που η δύναμη απόσβεσης έχει μέτρο ανάλογο της ταχύτητας και αντίθετη φορά με αυτήν , δηλαδή Fαπ= -b?υ ισχύουν τα εξής για την ταλάντωση. (Παρατήρηση : Οι τύποι και τα συμπεράσματα που ακολουθούν, ισχύουν στην περίπτωση που Λ=(b/2m)<< ωο . Για εκτενέστερη μελέτη της κίνησης : φθίνουσα ταλάντωση )
 |
Στο σχήμα φαίνεται η εξάρτηση της απομάκρυνσης με τον χρόνο σε φθίνουσα ταλάντωση. Αο ονομάζουμε το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης (για t=0s). A1 το πλάτος μετά απο μία περίοδο (για t=1Τ). Τα πλάτη (απομάκρυνση για t=kT ) συμβολίζονται Α1, Α2, Α3, .... Αk αντίστοιχα. Για τα πλάτη αυτά ισχύει: Ακ=Αο·e-Λt με t=κΤ |
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ
-
Η περίοδος της ταλάντωσης , για δεδομένη τιμή του b , παραμένει σταθερή. Δηλαδή είναι ίδια και στα αρχικά μεγάλα πλάτη και στα τελικά μικρά
-
Η περίοδος ταλάντωσης ενός συστήματος εξαρτάται από το b και όταν αυτό αυξάνει, αυξάνει και η περίοδος της ταλάντωσης. Οι μεταβολές της περιόδου λόγω μεταβολής του b, είναι μικρές. Έτσι στις φθίνουσες ταλαντώσεις θεωρούμε οτι η περίοδος είναι ίδια με την περίοδο που εμφανίζεται στο b=0 (ιδιοπερίοδος της ταλάντωσης).
-
Όταν η σταθερά απόσβεσης b πάρει πολύ μεγάλες τιμές, η κίνηση γίνεται απεριοδική.
-
Στις φθίνουσες ταλαντώσεις το πλάτος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Α=Αο e-Λt . Όπου Α το πλάτος τη στιγμή t=kT , Αο το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης και Λ σταθερά που εξαρτάται από τον συντελεστή απόσβεσης b. Η σχέση αυτή αφορά σε ταλαντώσεις που για t=0 έχουν υ=0 , χ=Α0 και εφαρμόζεται για t=kT ( ακέραιο πολλαπλάσιο της περιόδου).
-
Ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός. Η μαθηματική έκφραση της πρότασης αυτής είναι Α0/Α1 = Α1/Α2=..=Ακ-1/Ακ = σταθ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Ασκ 1. Σε φθίνουσα ταλάντωση η περίοδος είναι Τ=2 sec . Ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών προς την ίδια διεύθυνση είναι Αν-1/Αν = 2 και το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης Αο=10 m. Να γραφεί η συνάρτηση του πλάτους ως προς τον χρόνο.
Ασκ 2. Σε φθίνουσα ταλάντωση ο λόγος των διαδοχικών πλατών προς την ίδια κατεύθυνση είναι 2 . Η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ= 4 sec και Αο=2 m. Να βρεθεί η σχέση που δίνει το πλάτος της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. Αν η μάζα που ταλαντώνεται είναι m=2 Kgr , να βρεθεί κατά πόσο μειώθηκε η ενέργεια στη διάρκεια της πρώτης περιόδου.