ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Σε ένα σώμα γίνεται σύνθεση ταλαντώσεων, όταν το ίδιο σώμα εξαναγκάζεται σε τουλάχιστον δύο ταλαντώσεις ταυτόχρονα. Η τελική κίνηση, που ονομάζεται σύνθετη ταλάντωση, είναι αρκετά περίπλοκη. Η διεύθυνση της τελικής ταλάντωσης, το πλάτος, η φάση και η θέση ισορροπίας, εξαρτώνται από τα αντίστοιχα των επιμέρους ταλαντώσεων.

Έστω χ₁=Α₁ημ(ω₁t + φ₁) και χ₂=Α₂ημ(ω₂t+ φ₂) οι εξισώσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων. Γενικά οι ταλαντώσεις μπορεί να έχουν διαφορετικό πλάτος, συχνότητα, αρχική φάση, θέση ισορροπίας και διεύθυνση κίνησης.

Αν οι επιμέρους ταλαντώσεις γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση, τότε και η σύνθετη ταλάντωση θα έχει την ίδια Θ.Ι. και την ίδια διεύθυνση. Με τις δύο αυτές προϋποθέσεις ισχύει η σχέση   χ=χ₁+χ₂ όπου χ η απομάκρυνση της σύνθετης ταλάντωσης και χ₁ , χ₂ οι απομακρύνσεις την ίδια χρονική στιγμή των  συνιστωσών ταλαντώσεων.

Περίπτωση 1^η

• Κοινή θέση ισορροπίας

• Ίδια διεύθυνση ταλάντωσης

• ω₁=ω₂

Σε κάθε περίπτωση θα συμβολίζουμε με χ₁=Α₁ημ(ω₁t ) και χ₂=Α₂ημ(ω₂t+ φ) τις εξισώσεις των συνιστωσών ( αρχικών) ταλαντώσεων.  Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε t=0 τη στιγμή που η μία απο αυτές ( χ₁) έχει απομάκρυνση μηδέν και θετική ταχύτητα (αρχική φάση της 1^ης μηδέν).

Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις ταλάντωσης είναι: χ₁=Α₁ημ(ωt) και χ₂=Α₂ημ(ωt+φ)  (Θα συμβολίζουμε χ₁ την ταλάντωση με μηδενική αρχική φάση.)

Αποδεικνύεται μαθηματικά οτι το αποτέλεσμα της σύνθεσης είναι χ= Α ημ(ωt+θ).

Για να προσδιορισθεί η σύνθετη ταλάντωση πρέπει να βρεθεί το νέο πλάτος Α και διαφορά φάσης θ σε σχέση με την χ₁.

Αποδεικνύεται οτι το πλάτος και η γωνία υπολογίζονται απο τις σχέσεις :

Το νέο Πλάτος.	Η διαφορά φάσης σε σχέση με την χ1.

Ειδικές Περιπτώσεις:

Περίπτωση 2^η

• Κοινή θέση ισορροπίας

• Ίδια διεύθυνση ταλάντωσης

• ω₁?ω₂

• Α₁=Α₂ =Α

• φ₁=φ₂=0

Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις ταλάντωσης είναι: χ₁=Αημ(ω₁t) και χ₂=Αημ(ω₂t)

Η σύνθεση των αρμονικών ταλαντώσεων αυτών δίνει μια νέα ταλάντωση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, στην ίδια διεύθυνση, μόνο που δεν είναι αρμονική. Η εξίσωση της ταλάντωσης  είναι :

Ορίζουμε ως πλάτος Α' τον παράγοντα :

και έτσι η εξίσωση έχει την μορφή :

Η ταλάντωση που περιγράφεται από την παραπάνω εξίσωση ΔΕΝ είναι απλή αρμονική ταλάντωση γιατί το πλάτος Α' είναι συνάρτηση του χρόνου και μεταβάλλεται "αργά" όταν οι συχνότητες διαφέρουν ελάχιστα μεταξύ τους. Η ταλάντωση του σώματος σε αυτήν την περίπτωση ονομάζεται διακρότημα και ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών (ή μεγίστων) του πλάτους ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.

Στο σχήμα 1 φαίνεται η σύνθεση των χ₁=2ημ(5t) και χ₂=2ημ(9t) Η σύνθεση είναι περιοδικά αλλά όχι αρμονική. Οι γωνιακές συχνότητες διαφέρουν αρκετά και έτσι δεν παρουσιάζεται η μορφή του διακροτήματος.

Σχήμα 1

Στην ειδική περίπτωση που ω₁?ω₂, τότε  εμφανίζεται κίνηση της οποίας η απομάκρυνση έχει γραφική παράσταση όπως στο σχήμα 2

Σχήμα 2

Παρατηρήστε στο σχήμα 2 ότι αφενός γίνονται ταλαντώσεις, αφετέρου το πλάτος των ταλαντώσεων αυξομειώνεται. Έτσι για την κίνηση αυτή ορίζεται η περίοδος της ταλάντωσης και η περίοδος αυξομείωσης του πλάτους. Η δεύτερη ονομάζεται περίοδος του διακροτήματος.

Προφανώς η περίοδος του διακροτήματος είναι μεγαλύτερη από την περίοδο ταλάντωσης.

Στην έκφραση

ο παράγοντας   ημ (ω₁+ω₂)/2  ,  καθορίζει την συχνότητα (άρα και την περίοδο) της ταλάντωσης που είναι f=(f₁+f₂)/2. Δηλαδή f? f₁? f₂ αφού f₁? f₂.

Η συχνότητα του διακροτήματος υπολογίζεται απο τη σχέση  

f_δ=|f₁-f₂| .

Παράδειγμα σύνθεσης διακροτήματος.

Έστω ταλαντώσεις με   χ₁=10ημ(101πt) και χ₂=10Αημ(99πt)

Η συχνότητα της πρώτης είναι f₁=50,5Hz και της δεύτερης f₂=49,5Hz.

Η σύνθεση έχει εξίσωση   χ=20συν(πt)ημ(100πt)

Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των τριών ταλαντώσεων.

Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι f=50 Hz ( μέση τιμή των 50,5Ηz και 49,5Ηz ) ενώ η συχνότητα του διακροτήματος είναι f_δ= 1 Hz.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ασκ 1. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης , ίδιας Θ.Ι. με εξισώσεις : χ₁ = 5ημ20t   και χ₁ = 5ημ(20t+φ) στο S.I. . Να γράψετε την εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης στις περιπτώσεις  α] φ=0      β]  φ=π/3 rad    γ] φ=π/2 rad   δ]  φ=π rad

Ασκ 2. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης , ίδιας Θ.Ι. με εξισώσεις : χ₁ = 5ημ20t   και χ₁ = 5ημ(20t+π/2) στο S.I.

1. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης και ταχύτητας της σύνθετης ταλάντωσης.
2. Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή είναι η απομάκρυνση της σύνθετης ταλάντωσης χ=5 m , 1^η φορά.
3. Ποια είναι η ενέργεια της ταλάντωσης, αν η μάζα του σώματος είναι m=2Kgr;

Ασκ 3. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι αντίστοιχα:

 χ₁=0,4ημ(πt/3) και  χ₂=0,4?3ημ(πt/3+π/2)

1. Να  γραφεί   η   εξίσωση   της  απομάκρυνσης   για  τη  συνισταμένη ταλάντωση.
2. Να  προσδιοριστεί η  πρώτη φορά κατά  την   οποία  το   σώμα βρίσκεται στη θέση χ = + A .

Ασκ 4. Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι  αντίστοιχα: χ₁ = 5ημ2πt  και χ₂ = 5 ημ(2πt + π/2) (χ₁,χ₂ σε cm). Ζητείται:

1. Να υπολογισθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης για τη συνισταμένη ταλάντωση.
2. Να υπολογισθεί  η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t = 0.25 sec. Δίνεται π² =10.

Ασκ 5. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι αντίστοιχα:

χ₁=20ημ(4πt+π/3) και· χ₂=204?3ημ(4πt-π/6)

1. Να  γραφεί  η  εξίσωση  της  απομάκρυνσης  για  τη  συνισταμένη ταλάντωση,
2. Να  προσδιοριστεί  η  χρονική  στιγμή  κατά  την  οποία  το  σώμα βρίσκεται στη θέση όπου για πρώτη φορά μηδενίζεται η ταχύτητα του.

Ασκ 6. Το πλάτος διακροτήματος δίνεται από τη σχέση Α = 10συν(t). Το δημιουργούν δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται ταυτόχρονα προς την ίδια διεύθυνση,  γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με το ίδιο πλάτος και χωρίς αρχική φάση. Οι συχνότητες είναι f₁=30/π Hz και f₂. Να υπολογίσετε την εξίσωση του διακροτήματος και τις εξισώσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων.

Ασκ 7. Η εξίσωση x=A?ημ(ω?t+φ) είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο άλλων ταλαντώσεων x_Α και x_Β για τις οποίες παρέχονται οι εξής πληροφορίες:

1. Οι x_Α και x_Β εξελίσσονται στην ίδια ευθεία με την ίδια συχνότητα f = 5Η_Ζ .
2. Τη χρονική στιγμή t=0 παρουσιάζουν ίσες απομακρύνσεις ενώ η ταχύτητα της x_Β είναι τριπλάσια της x_Α και αντίθετης φοράς.
3. Τη χρονική στιγμή t=1/30sec η ταχύτητα της x_Α λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της  π m/sec.

Να προσδιορίσετε την εξίσωση της συνισταμένης κίνησης και να υπολογίσετε την απομάκρυνση της συνισταμένης κίνησης την στιγμή που η x_Α παρουσιάζει μηδενική απομάκρυνση ενώ η x_Β έχει θετική απομάκρυνση.