Καλωσήλθατε στην κεντρική σελίδα του Ε.Κ.Φ.Ε. Καστοριάς !

Η αρχή της απροδιοριστίας

ή διαφορετικά αρχή της αβεβαιότητας είναι βασικό αξίωμα της Κβαντικής Φυσικής. Διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τον Werner Heisenberg,

Σύμφωνα με την αρχή της απροδιοριστίας είναι αδύνατο να μετρήσουμε με απεριόριστη ακρίβεια, τη θέση και την ορμή ενός σωμάτιου ταυτόχρονα.

Η περίφημη αρχή απροσδιοριστίας του Heisenberg έχει αποδειχτεί φορμαλιστικά με διάφορους τρόπους οι οποίοι στηρίζονται στις ιδιότητες αντιμετάθεσης των τελεστών που παριστάνουν τα διάφορα μεγέθη της κβαντομηχανικής. Ο ίδιος ο Heisenberg είχε προτείνει ένα περίφημο νοητό πείραμα για να φωτίσει από φυσική σκοπιά την αρχή της απροσδιοριστίας. Θα παρακολουθήσουμε στη συνέχεια μια ανάλυση πάνω στο πείραμα με το μικροσκόπιο των ακτίνων γ, που πρότεινε ο Heisenberg.

Ας ξεκινήσουμε θεωρώντας ένα υποθετικό μικροσκόπιο που λειτουργεί με ακτίνες γ, και στοχεύει στο να παρατηρήσει ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται κάτω από τον αντικειμενικό φακό του.

Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο βρίσκεται ακριβώς κάτω από το κέντρο του φακού του μικροσκοπίου. Ο κυκλικός φακός και το ηλεκτρόνιο ορίζουν ένα κώνο με τη γωνία της κορυφής του ίση με 2Α. Το ηλεκτρόνιο τότε φωτίζεται από τ' αριστερά με ακτίνες γ - υψηλής ενέργειας φως που έχει το μικρότερο δυνατόν μήκος κύματος. Οι ακτίνες αυτές σύμφωνα με τις αρχές της οπτικής δίνουν την υψηλότερη δυνατή διακριτική ικανότητα. Πράγματι η κυματική οπτική μας λέει ότι το μικροσκόπιο μπορεί να διακρίνει αντικείμενα μεγέθους dx, το οποίο σχετίζεται με το μήκος κύματος λ των ακτίνων γ, σύμφωνα με τη σχέση:

dx = λ/(2sinA) (1)

Στην κβαντομηχανική όμως όπου ένα φωτεινό κύμα συμπεριφέρεται ως σωματίδιο, μια ακτίνα γ, η οποία χτυπάει ένα ηλεκτρόνιο, του δίνει μια ώθηση. Τη στιγμή που η ακτίνα (ή καλύτερα ένα φωτόνιο της ακτίνας), σκεδάζεται από το ηλεκτρόνιο και εισέρχεται στο φακό του μικροσκοπίου, το ίδιο το ηλεκτρόνιο φεύγει προς τα δεξιά. Για να μπορέσει να παρατηρηθεί από το μικροσκόπιο, πρέπει το φωτόνιο να σκεδαστεί σε οποιαδήποτε γωνία εντός του κώνου με γωνία 2Α. Στην κβαντομηχανική, το φωτόνιο γ μεταφέρει ορμή, σαν να ήταν σωματίδιο. Η ολική ορμή του p σχετίζεται με το μήκος κύματος με τη σχέση:

p = h / λ (2)

όπου h είναι η σταθερά του Planck.

Στην ακραία περίπτωση της σκέδασης της ακτίνας γ προς την δεξιά άκρη του φακού, η ολική ορμή στην κατεύθυνση χ, θα είναι το άθροισμα της ορμής του ηλεκτρονίου P'x στην διεύθυνση χ και της ορμής του φωτονίου στην ίδια διεύθυνση:

P'_x + (hsinA) / λ'

όπου λ' είναι το μήκος κύματος του σκεδασθέντος φωτονίου.
Από την άλλη πλευρά, η ακτίνα γ που μπορεί να σκεδαστεί και να εισέλθει στο αριστερό άκρο του φακού ανακρούεται προς τα πίσω. Στην περίπτωση αυτή η ολική ορμή του συστήματος κατά τον άξονα x είναι:

P''_x - (hsinA) / λ''

Η τελική ορμή στον άξονα x σε κάθε περίπτωση πρέπει να είναι ίση με την αρχική ορμή στον ίδιο άξονα, εφόσον ισχύει η διατήρηση της ορμής. Θα πρέπει λοιπόν οι τελικές ορμές του συστήματος για τις δύο διαφορετικές σκεδάσεις να είναι ίσες:

P'_x + (hsinA) / λ' = P''_x - (hsinA) / λ'' (3)

Αν η γωνία Α του φακού είναι μικρή, τότε προσεγγιστικά τα μήκη κύματος δεν έχουν ουσιαστική διαφορά και μπορούμε να θέσουμε:

λ' ~ λ" ~ λ.

Έτσι παίρνουμε

P''_x - P'_x = dP_x ~ hsinA / λ (4)

Επειδή όπως είπαμε στην αρχή το διακριτικό όριο ενός φακού επιβάλλει ότι

dx = λ/(2 sinA)

βρίσκουμε μια αντίστροφη σχέση μεταξύ της ελάχιστης απροσδιοριστίας στη μέτρηση της θέσης του ηλεκτρονίου κατά τον άξονα x,( dx ), και της αντίστοιχης αβεβαιότητας στη μέτρηση της ορμής κατά τον άξονα x, ( dPx):

dP_x ~ h / dx ή dP_x dx ~ h (5)

Για μεγαλύτερη απροσδιοριστία, οφειλόμενη και σε πειραματικούς λόγους ισχύει η ανισότητα:

dP_x dx > h

Αυτή είναι η περίφημη σχέση απροσδιοριστίας του Heisenberg, με εξαίρεση τον αριθμητικό παράγοντα 4π, αφού η παραπάνω απόδειξη δίνει μόνο την τάξη μεγέθους του γινομένου.

Εκφράσεις 

Η βασική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας είναι αυτή του 1927:

Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα Δx και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα Δp, τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό της τάξης του  ?= h/2π . Δηλαδή:

ΔΡ?Δt? ?/2

Οι αβεβαιότητες των μεγεθών θέσης και ορμής Δx και Δp ισούνται με τη διασπορά τους γύρω από τη μέση τους τιμή.

Ο ίδιος ο Heisenberg διευκρίνησε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των Δx και Δp δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από την δομή της ύλης αυτής καθ' εαυτήν.

Πιο συγκεκριμένα, η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σε θεωρητικό επίπεδο, είναι αποτέλεσμα των μεταθετικών σχέσεων μεταξύ των κβαντομηχανικών τελεστών θέσης και ορμής.

Η σχέση αβεβαιότητας ισχύει για μεγέθη που μετρούνται στον ίδιο άξονα, για παράδειγμα για το ζεύγος Δx_x, Δp_x.

Όλα τα υπόλοιπα ζεύγη μεγεθών σε διαφορετικούς άξονες μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια.

Υπάρχουν και άλλες εκφράσεις της αρχής της απροδιοριστίας. Μια από αυτές είναι η εξής:

ΔΕ?Δt??/2

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει όριο στην ακρίβεια που μπορούμε να μετρήσουμε την ενέργεια ΔE ενός συστήματος, αν το σύστημα παραμένει σε μια δεδομένη ενεργειακή κατάσταση για χρόνο Δt.

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ