Καλωσήλθατε στην κεντρική σελίδα του Ε.Κ.Φ.Ε. Καστοριάς !
 |
«ΚΟΣΜΟΝ ΤΟΝΔΕ , ΤΟΝ ΑΥΤΟΝ ΑΠΑΝΤΩΝ, ΟΥΤΕ ΤΙΣ ΘΕΩΝ ΟΥΤΕ ΤΙΣ ΑΝΘΡΩΠΩΝ ΕΠΟΙΗΣΕΝ, ΑΛΛ΄ ΗΝ ΑΕΙ ΚΑΙ ΕΣΤΙΝ ΚΑΙ ΕΣΤΑΙ ΠΥΡ ΑΕΙΖΩΟΝ, ΑΠΤΟΜΕΝΟΝ ΜΕΤΡΑ ΚΑΙ ΑΠΟΣΒΕΝΝΥΜΕΝΟΝ ΜΕΤΡΑ» Ηράκλειτος |
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων σε απλή αρμονική ταλάντωση :
|
χ=χ(t) , υ=υ(t), α=α(t) σε κοινούς άξονες . |
||
|
Οι γραφικές παραστάσεις στο σχήμα 1 αφορούν κίνηση χωρίς αρχική φάση. Η ταχύτητα προηγείται κατά π/2 της απομάκρυνσης και η επιτάχυνση κατά π/2 της ταχύτητας. Όταν η απομάκρυνση είναι μηδέν , η ταχύτητα έχει ακρότατο. Οι τιμές της επιτάχυνσης με την απομάκρυνση είναι ¨αντίθετες¨ |
σχήμα 1 |
|
|
Στο σχήμα 2 εμφανίζονται οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις με αρχική φάση π/2. Η σχετική θέση των τριών γραφικών παραστάσεων, είναι σταθερή. Υπάρχει μόνο οριζόντια μετατόπιση στον άξονα του χρόνου. Οι τιμές στις οποίες οι παραστάσεις τέμνουν τον κατακόρυφο άξονα, εξαρτώνται από την τιμή της αρχικής φάσης. |
σχήμα 2 |
|
| Ενέργειες σε σχέση με τον χρόνο. | |
|
Στο σχήμα 3 φαίνεται η γραφική παράσταση των ενεργειών της ταλάντωσης ως προς την φάση ( η αρχική φάση είναι μηδέν ). Προφανώς οι ενέργειες έχουν μόνο θετικές τιμές. Το μέγιστο της μίας αντιστοιχεί στον μηδενισμό της άλλης ενώ έχουν και οι δύο την ίδια μέγιστη τιμή. Σε χρόνο μίας περιόδου,(η φάση ωt αυξάνει κατά 2π ) γίνονται δύο αυξομειώσεις των ενεργειών. Έτσι η περίοδος μετατροπής της κινητικής αλλά και της δυναμικής είναι Τ/2. |
|
- Οι ενέργειες είναι ίσες τις χρονικές στιγμές που ωt=(2κ+1)π/4.
- Το άθροισμα των ενεργειών είναι σταθερό με τον χρόνο.
- Αν στον οριζόντιο άξονα έχω χρόνο, τότε η μορφή μένει η ίδια αλλά το 2π γίνεται Τ.
- Όταν είναι δεδομένη η γραφική παράσταση της ενέργειας, περίοδος της κίνησης είναι ο χρόνος που γίνονται δύο αυξομειώσεις της ενέργειας.
Προσοχή :
Σε ποια θέση είναι Κ=αU με α ? [0,?) ;
Από την Α.Δ.Μ.Ε. έχω Κ+U=Ε?αU+U=E?(α+1)U=E?(α+1)½Dx2=½DA2 ?(α+1)x2=A2 απο όπου προκύπτουν οι τιμές του χ.
Για πόσο χρονικό διάστημα στην διάρκεια της πρώτης περιόδου είναι Κ>U;
Από την γραφική παράσταση φαίνεται ότι Κ>U?ωt ? (0 , π/4) U (3π/4 , 5π/4) U (7π/4 , 2π)
Οι αντίστοιχοι χρόνοι είναι (0 , Τ/8) U (3T/8, 5T/8) U (7T/8 , T). Το συνολικό χρονικό διάστημα είναι Τ/2.
Φάση ως προς τον χρόνο.
Η συνάρτηση της φάσης είναι φ=ωt+φ0 . Είναι πρώτου βαθμού συνάρτηση , αύξουσα , με κλίση ίση με την γωνιακή συχνότητα ω.
Η φάση αυξάνεται κατά 2π σε κάθε περίοδο της κίνησης.
Αν η αρχική φάση είναι αρνητική, η γραφική παράσταση μεταφέρεται παράλληλα προς τα κάτω.
Ταχύτητα ως προς απομάκρυνση.
Η γραφική παράσταση είναι έλλειψη.
Φαίνεται ότι για κάθε θέση αντιστοιχούν δύο τιμές της ταχύτητας, όπως και ότι κάθε τιμή της ταχύτητας αντιστοιχεί σε δύο συμμετρικές θέσεις.
Η συνάρτηση του χ με το υ, προκύπτει απο την τριγωνομετρική ταυτότητα ημ2(ωt)+συν2(ωt)=1 και τις χρονικές εξισώσεις του χ και υ .
|
Δύναμη ως προς την απομάκρυνση. Η συνάρτηση είναι F=-D?x. Είναι πρώτου βαθμού ως προς χ , με αρνητική κλίση. Η γραφική παράσταση περιορίζεται από ?Α έως Α. Από αυτήν προκύπτουν το πλάτος της ταλάντωσης , η μέγιστη δύναμη , συνεπώς και η σταθερά D της ταλάντωσης. |
 |
|
Επιτάχυνση ως προς την απομάκρυνση. Η συνάρτηση είναι α=-ω2?x. Είναι πρώτου βαθμού ως προς χ , με αρνητική κλίση. Η γραφική παράσταση περιορίζεται από ?Α έως Α. Από αυτήν προκύπτουν το πλάτος της ταλάντωσης , η μέγιστη επιτάχυνση , συνεπώς και η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης. |
 |